Математический анализ Примеры

$y = {(x^{2} - 3 y)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 3 y)}^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 3 y$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y])$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $3 {(x^{2} - 3 y)}^{2} (2 x - 3 y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем ${(x^{2} - 3 y)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = 3 ((x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.2

Развернем $(x^{2} - 3 y) (x^{2} - 3 y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 3 (x^{2} (x^{2} - 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y (x^{2} - 3 y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 3 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = 3 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y' = 3 (x^{4} + x^{2} (- 3 y) - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 y (- 3 y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y \cdot y) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.4.1

Перенесем $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 (y \cdot y)) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} - 3 \cdot - 3 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 y x^{2} + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.2

Вычтем $3 y x^{2}$ из $- 3 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.3.2.2

Вычтем $3 x^{2} y$ из $- 3 x^{2} y$ .

$y' = 3 (x^{4} - 6 x^{2} y + 9 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = (3 x^{4} + 3 (- 6 x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 3 (9 y^{2})) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.5.2

Умножим $9$ на $3$ .

$y' = (3 x^{4} - 18 (x^{2} y) + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$

Этап 5.1.6

Развернем $(3 x^{4} - 18 x^{2} y + 27 y^{2}) (2 x - 3 y')$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y' = 3 x^{4} (2 x) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 3 \cdot 2 x^{4} x + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x \cdot x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = 3 \cdot 2 (x^{1} x^{4}) + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = 3 \cdot 2 x^{1 + 4} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$y' = 3 \cdot 2 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.3

Умножим $3$ на $2$ .

$y' = 6 x^{5} + 3 x^{4} (- 3 y') - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 6 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.5

Умножим $3$ на $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{2} y (2 x) - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.6.1

Перенесем $x$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x \cdot x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 (x^{1} x^{2}) y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{1 + 2} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 18 x^{3} y \cdot 2 - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.7

Умножим $2$ на $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y - 18 x^{2} y (- 3 y') + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.8

Умножим $- 3$ на $- 18$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 y^{2} (2 x) + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 27 \cdot 2 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.10

Умножим $27$ на $2$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 y^{2} (- 3 y')$

Этап 5.1.7.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x + 27 \cdot - 3 y^{2} y'$

Этап 5.1.7.12

Умножим $27$ на $- 3$ .

$y' = 6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y'$

Этап 5.2

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' = y'$

Этап 5.3

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{5} - 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = 0$

Этап 5.4

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $6 x^{5}$ из обеих частей уравнения.

$- 9 x^{4} y' - 36 x^{3} y + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5}$

Этап 5.4.2

Добавим $36 x^{3} y$ к обеим частям уравнения.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' + 54 y^{2} x - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y$

Этап 5.4.3

Вычтем $54 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y'$ из $- 9 x^{4} y' + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 9 x^{4} y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + 54 x^{2} y y' - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $54 x^{2} y y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) - 81 y^{2} y' - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 81 y^{2} y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) - y' = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.5.4

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.5.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 9 x^{4}) + y' (54 x^{2} y)$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.5.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y) + y' (- 81 y^{2})$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.5.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ на $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1) = - 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ на $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{- 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} + \frac{36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.1.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1} - \frac{54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $- 6 x^{5} + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1.1

Вынесем множитель $6 x$ из $- 6 x^{5}$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 36 x^{3} y - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.1.2

Вынесем множитель $6 x$ из $36 x^{3} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) - 54 y^{2} x}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.1.3

Вынесем множитель $6 x$ из $- 54 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.1.4

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (- x^{4}) + 6 x (6 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.1.5

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y) + 6 x (- 9 y^{2})$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.2.1.1

Изменим порядок членов.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} - 9 y^{2} + 6 x^{2} y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.1.2

Изменим порядок $- 9 y^{2}$ и $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 6 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.1.4

Запишем $6$ как $3$ плюс $3$

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + (3 + 3) (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 (x^{2} y) + 3 (x^{2} y) - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.1.6

Перенесем круглые скобки.

$y' = \frac{6 x (- x^{4} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y' = \frac{6 x ((- x^{4} + 3 x^{2} y) + 3 x^{2} y - 9 y^{2})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y' = \frac{6 x (x^{2} (- x^{2} + 3 y) - 3 y (- x^{2} + 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x^{2} + 3 y$ .

$y' = \frac{6 x ((- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

$y' = \frac{6 x (- x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) + 3 y) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 y$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2}) - (- 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{6 x (- (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.4

Перепишем $- (x^{2} - 3 y)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{6 x (- 1 (x^{2} - 3 y)) (x^{2} - 3 y)}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.5

Возведем $x^{2} - 3 y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} (x^{2} - 3 y))}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.6

Возведем $x^{2} - 3 y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 ({(x^{2} - 3 y)}^{1} {(x^{2} - 3 y)}^{1})}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{1 + 1}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$y' = \frac{6 x \cdot - 1 {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.2.3.9

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y' = \frac{- 6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 9 x^{4} + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x^{4}$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) + 54 x^{2} y - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $54 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{4}) - (- 54 x^{2} y)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - 81 y^{2} - 1}$

Этап 5.6.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 81 y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2}) - 1}$

Этап 5.6.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y) - (81 y^{2})$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1}$

Этап 5.6.3.3.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)}$

Этап 5.6.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Этап 5.6.3.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.3.9.1

Перепишем $- (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ в виде $- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)$ .

$y' = - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{- 1 (9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1)}$

Этап 5.6.3.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Этап 5.6.3.3.9.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Этап 5.6.3.3.9.4

Умножим $\frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$ на $1$ .

$y' = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(x^{2} - 3 y)}^{2}}{9 x^{4} - 54 x^{2} y + 81 y^{2} + 1}$