Математический анализ Примеры

$y = (2 - 5 x^{3}) \arcsin (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((2 - 5 x^{3}) \arcsin (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 - 5 x^{3}$ и $g (x) = \arcsin (x)$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{3}]$

Этап 3.2

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x^{3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $2 - 5 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (- 5 (3 x^{2}))$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $3$ на $- 5$ .

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (- 15 x^{2})$

Этап 3.3.6.2

Изменим порядок членов.

$(2 - 5 x^{3}) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 15 x^{2} \arcsin (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = (2 - 5 x^{3}) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) - 15 x^{2} \arcsin (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 - 5 x^{3}) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) - 15 x^{2} \arcsin (x)$