Математический анализ Примеры

$x = 6 {(3 y - 8)}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (6 {(3 y - 8)}^{4})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{d}{d x} [6 ({(3 y)}^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (3^{4} y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.3

Применим правило умножения к $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (3^{3} y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (27 y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.5

Умножим $27$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 108 y^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 8$ на $108$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.7

Применим правило умножения к $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (3^{2} y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (9 y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.9

Умножим $9$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.10

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} \cdot 64 + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.11

Умножим $64$ на $54$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.12

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.13

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y \cdot - 512 + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.14

Умножим $- 512$ на $12$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + {(- 8)}^{4})]$

Этап 3.2.1.15

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)]$

Этап 3.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$ .

$6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.2.4

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81 y^{4}$ по $x$ равна $81 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$6 (81 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$6 (81 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (81 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$6 (81 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $81$ .

$6 (324 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.6

Поскольку $- 864$ является константой относительно $x$ , производная $- 864 y^{3}$ по $x$ равна $- 864 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $- 864$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.9

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.10

Поскольку $3456$ является константой относительно $x$ , производная $3456 y^{2}$ по $x$ равна $3456 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.11.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.12

Умножим $2$ на $3456$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.13

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.14

Поскольку $- 6144$ является константой относительно $x$ , производная $- 6144 y$ по $x$ равна $- 6144 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.15

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + \frac{d}{d x} [4096])$

Этап 3.16

Поскольку $4096$ является константой относительно $x$ , производная $4096$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + 0)$

Этап 3.17

Добавим $324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y'$ и $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y')$

Этап 3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (324 y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Этап 3.18.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.2.1

Умножим $324$ на $6$ .

$1944 (y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Этап 3.18.2.2

Умножим $- 2592$ на $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 (y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

Этап 3.18.2.3

Умножим $6912$ на $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 (y y') + 6 (- 6144 y')$

Этап 3.18.2.4

Умножим $- 6144$ на $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $72 y'$ из $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $72 y'$ из $1944 y^{3} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $72 y'$ из $- 15552 y^{2} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $72 y'$ из $41472 y y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) - 36864 y' = 1$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $72 y'$ из $- 36864 y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $72 y'$ из $72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2})$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Этап 5.2.6

Вынесем множитель $72 y'$ из $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y)$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

Этап 5.2.7

Вынесем множитель $72 y'$ из $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ на $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ на $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ .

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$