Математический анализ Примеры

$x y (2 x + 3 y) = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y (2 x + 3 y)) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x y$ и $g (x) = 2 x + 3 y$ .

$x y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y] + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$x y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x y (2 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y (2 + 3 \frac{d}{d x} [y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.4

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.7

Умножим $y$ на $1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y') + (2 x + 3 y) y$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + (2 x + 3 y) y$

Этап 2.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Этап 2.8.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Перенесем $2$ влево от $x y$ .

$2 \cdot (x y) + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Этап 2.8.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Этап 2.8.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x^{1}) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Этап 2.8.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{1 + 1} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Этап 2.8.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Этап 2.8.5.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y)$

Этап 2.8.5.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y^{1})$

Этап 2.8.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{1 + 1}$

Этап 2.8.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{2}$

Этап 2.8.5.10

Перенесем $y$ .

$2 x y + 3 \cdot x y y' + 3 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

Этап 2.8.5.11

Добавим $3 x y y'$ и $3 x y y'$ .

$2 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

Этап 2.8.5.12

Добавим $2 x y$ и $2 x y$ .

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 3 y^{2}$

Этап 2.8.6

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y'$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $4 x y$ из обеих частей уравнения.

$6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 x y'$ из $6 x y y' + 2 x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x y'$ из $6 x y y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 x y'$ из $2 x^{2} y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x y' x = - 3 y^{2} - 4 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 x y'$ из $2 x y' (3 y) + 2 x y' x$ .

$2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ на $2 x (3 y + x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ на $2 x (3 y + x)$ .

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $3 y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (3 y + x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

Этап 5.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 y}{3 y + x}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 y}{3 y + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x (3 y + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{2 y}{3 y + x}$ на $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{(3 y + x) (2 x)}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(3 y + x) (2 x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 y^{2} - 2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y^{2} - 2 y \cdot 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) - 2 y \cdot 2 x}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y \cdot 2 x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - (4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y) - (4 x)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.4.1

Перепишем $- (3 y + 4 x)$ в виде $- 1 (3 y + 4 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Этап 5.3.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$