Математический анализ Примеры

$x \cos (x y) = x + y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x \cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

$x (- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \cdot 1$

Этап 2.8

Умножим $\cos (x y)$ на $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y)$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- \sin (x y) (x y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Этап 2.9.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Этап 2.9.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Этап 2.9.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Этап 2.9.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Этап 2.9.4

Изменим порядок членов.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$ .

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Этап 5.2

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $x y \sin (x y)$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} y' \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y)$

Этап 5.3.2

Вычтем $\cos (x y)$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} y' \sin (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y' \sin (x y) - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y' \sin (x y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y)) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ на $- x^{2} \sin (x y) - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ на $- x^{2} \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $- x^{2} \sin (x y) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Этап 5.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Этап 5.5.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Этап 5.5.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1}$

Этап 5.5.3.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)}$

Этап 5.5.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Этап 5.5.3.7

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.7.1

Перепишем $- (x^{2} \sin (x y) + 1)$ в виде $- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Этап 5.5.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$