Математический анализ Примеры

$y (x^{2} + 64) = 128$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y (x^{2} + 64)) = \frac{d}{d x} (128)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = x^{2} + 64$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] + (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 64$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) + (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (2 x + \frac{d}{d x} [64]) + (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.3

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (2 x + 0) + (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$y (2 x) + (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 \cdot y x + (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y x + (x^{2} + 64) y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y x + x^{2} y' + 64 y'$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$2 x y + x^{2} y' + 64 y'$

Этап 3

Поскольку $128$ является константой относительно $x$ , производная $128$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x y + x^{2} y' + 64 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 64 y' = - 2 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' + 64 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 64 y' = - 2 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $64 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 64 = - 2 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{2} + y' \cdot 64$ .

$y' (x^{2} + 64) = - 2 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 64) = - 2 x y$ на $x^{2} + 64$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 64) = - 2 x y$ на $x^{2} + 64$ .

$\frac{y' (x^{2} + 64)}{x^{2} + 64} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 64}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} + 64)}{x^{2} + 64} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 64}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 64}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 64}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 64}$