Математический анализ Примеры

$8 \sqrt{y} = x - 5 y$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 y^{\frac{1}{2}} = x - 5 y$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (8 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 5 y)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 y^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.9

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.10

Объединим $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ и $8$ .

$\frac{8}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.13

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Этап 3.14

Объединим $\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}}$ и $y'$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x - 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 y$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - 5 y'$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - 5 y'$

Этап 6

Решим относительно $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 y' = (1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $(1 - 5 y') y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$4 y' = y^{\frac{1}{2}} - 5 y' y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.2.1.2.2

Изменим порядок $y^{\frac{1}{2}}$ и $- 5 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y' = - 5 y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим $5 y' y^{\frac{1}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$4 y' + 5 y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2

Найдем общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.3

Подставим $u$ вместо $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 y' u - (u) = 0$

Этап 6.3.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1

Перемножим экспоненты в ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Этап 6.3.4.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 y' u - u = 0$

Этап 6.3.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {y'}^{1} + 5 y' u - u = 0$

Этап 6.3.4.1.2

Упростим.

$4 y' + 5 y' u - u = 0$

Этап 6.3.4.2

Вычтем $4 y'$ из обеих частей уравнения.

$5 y' u - u = - 4 y'$

Этап 6.3.4.3

Вынесем множитель $u$ из $5 y' u - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.1

Вынесем множитель $u$ из $5 y' u$ .

$u (5 y') - u = - 4 y'$

Этап 6.3.4.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u (5 y') + u \cdot - 1 = - 4 y'$

Этап 6.3.4.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u (5 y') + u \cdot - 1$ .

$u (5 y' - 1) = - 4 y'$

Этап 6.3.4.4

Разделим каждый член $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ на $5 y' - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.1

Разделим каждый член $u (5 y' - 1) = - 4 y'$ на $5 y' - 1$ .

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Этап 6.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $5 y' - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u (5 y' - 1)}{5 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Этап 6.3.4.4.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 4 y'}{5 y' - 1}$

Этап 6.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Этап 6.3.5

Подставим $y'$ вместо $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y'}{5 y' - 1}$