Математический анализ Примеры

$7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2} = 40$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2}) = \frac{d}{d x} (40)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(y^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + (y^{2} + 1) (y^{2} + 1)]$

Этап 2.2

Развернем $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{2} + 1)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Этап 2.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1 \cdot 1]$

Этап 2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1]$

Этап 2.3.2

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 {(x^{2} + 1)}^{6}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + 1$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$7 (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + 1$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.7

Умножим $2$ на $6$ .

$7 (12 {(x^{2} + 1)}^{5} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5.8

Умножим $12$ на $7$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7.4

Умножим $2$ на $2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + 0$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Добавим $84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$ и $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Этап 2.9.2

Изменим порядок членов.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Этап 3

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{3} y' + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y^{3} y' + 4 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1 = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1$ .

$4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ на $4 y (y^{2} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ на $4 y (y^{2} + 1)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 84$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y (y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$