Математический анализ Примеры

$\cos (x + y) = y \sin (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (y \sin (x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 - \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 5.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 5.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 5.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $y \cos (x) + \sin (x) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + y' \sin (x)$

Этап 5.3

Вычтем $y' \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x)$

Этап 5.4

Добавим $\sin (x + y)$ к обеим частям уравнения.

$- y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \sin (x + y) - y' \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \sin (x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \sin (x)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x))$ .

$y' (- 1 \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 \sin (x + y)$ в виде $- \sin (x + y)$ .

$y' (- \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Этап 5.7

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Этап 5.8

Разделим каждый член $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ на $- \sin (x + y) - \sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Разделим каждый член $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ на $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Этап 5.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сократим общий множитель $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Этап 5.8.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Этап 5.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Этап 5.8.3.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Этап 5.8.3.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Этап 5.8.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Этап 5.8.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x + y)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)}$

Этап 5.8.3.1.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))}$

Этап 5.8.3.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))}$

Этап 5.8.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Этап 5.8.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Этап 5.8.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Этап 5.8.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Этап 5.8.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Этап 5.8.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.2.5.1

Перепишем $- (y \cos (x) + \sin (x + y))$ в виде $- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Этап 5.8.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$