Математический анализ Примеры

$\arctan (x^{2} y) = x y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило умножения к $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Этап 2.6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Этап 2.6.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Этап 2.6.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ .

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$

Этап 2.6.4

Умножим $x^{2} y' + 2 y x$ на $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} y' + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} y' + 2 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} y'$ .

$\frac{x (x y') + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

Этап 2.6.5.2

Вынесем множитель $x$ из $2 y x$ .

$\frac{x (x y') + x (2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Этап 2.6.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x y') + x (2 y)$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$y^{2} + 2 x y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} = y^{2} + 2 x y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $1 + x^{4} y^{2}$ .

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $1 + x^{4} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x y' + 2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x y') + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} y' + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.5

Изменим порядок $x^{2}$ и $y'$ .

$y' x^{2} + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(y^{2} + 2 x y y') (1 + x^{4} y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} (1 + x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' (1 + x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} y^{2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2 + 2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x y y' (x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x) y y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.4.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x^{1}) y y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{4 + 1} y y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.4.3

Добавим $4$ и $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y y' y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y) y'$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y^{1}) y'$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{2 + 1} y'$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Этап 5.2.2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.2.1

Изменим порядок $y^{4}$ и $x^{4}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y'$

Этап 5.2.2.1.2.2.2

Перенесем $y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y' y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Этап 5.2.2.1.2.2.3

Перенесем $x$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y^{3} y'$

Этап 5.2.2.1.2.2.4

Перенесем $y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y' y^{3}$

Этап 5.2.2.1.2.2.5

Перенесем $x^{5}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3}$

Этап 5.2.2.1.2.2.6

Перенесем $y^{2}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.7

Перенесем $2 y' x y$ .

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.8

Изменим порядок $x^{4} y^{4}$ и $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x^{2} + 2 x y = 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} = y' x^{2} + 2 x y$

Этап 5.3.2

Вычтем $y' x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y$

Этап 5.3.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $x^{4} y^{4}$ из обеих частей уравнения.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2} - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y' x$ из $2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $y' x$ из $2 y' x^{5} y^{3}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $y' x$ из $2 y' x y$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Этап 5.3.4.3

Вынесем множитель $y' x$ из $- y' x^{2}$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Этап 5.3.4.4

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Этап 5.3.4.5

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x)$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Этап 5.3.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$

Этап 5.3.6

Разделим каждый член $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ на $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Разделим каждый член $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - y^{2}$ на $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ .

$\frac{y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.2.2

Сократим общий множитель $2 x^{4} y^{3} + 2 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y - x^{3} y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- x^{3} y^{4}$ .

$y' = \frac{y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.3

Чтобы записать $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.4.1

Умножим $\frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.4.2

Изменим порядок множителей в $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ .

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $y (2 - x^{3} y^{3}) x - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y (2 - x^{3} y^{3}) x$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y ((2 - x^{3} y^{3}) x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3}) x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{y (2 x - x^{3} y^{3} x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.3.1

Перенесем $x$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x \cdot x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y (2 x - (x^{1} x^{3}) y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{y (2 x - x^{1 + 3} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$