Математический анализ Примеры

$\arctan (2 x^{2} y) = x + 4 x y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\arctan (2 x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x + 4 x y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 2 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Этап 2.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (x^{2} y))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило умножения к $2 (x^{2} y)$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Этап 2.2.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2} y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2} y])$

Этап 2.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

Этап 2.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{2}{1 + 4 {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим правило умножения к $x^{2} y$ .

$\frac{2}{1 + 4 ({(x^{2})}^{2} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

Этап 2.7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{1 + 4 (x^{2 \cdot 2} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

Этап 2.7.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{1 + 4 (x^{4} y^{2})} (x^{2} y' + 2 y x)$

$\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

Этап 2.7.3

Изменим порядок множителей в $\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ .

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Этап 2.7.4

Умножим $x^{2} y' + 2 y x$ на $\frac{2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} y' + 2 y x) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Этап 2.7.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} y' + 2 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} y'$ .

$\frac{(x (x y') + 2 y x) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Этап 2.7.5.2

Вынесем множитель $x$ из $2 y x$ .

$\frac{(x (x y') + x (2 y)) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Этап 2.7.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x y') + x (2 y)$ .

$\frac{x (x y' + 2 y) \cdot 2}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Этап 2.7.6

Перенесем $2$ влево от $x (x y' + 2 y)$ .

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x + 4 x y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 3.2.2

$1 + 4 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$1 + 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 + 4 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$1 + 4 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + 4 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + 4 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Этап 3.2.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$1 + 4 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 3.2.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$1 + 4 (2 x y y' + y^{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + 4 (2 x y y') + 4 y^{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$1 + 8 x y y' + 4 y^{2}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$4 y^{2} + 8 x y y' + 1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} = 4 y^{2} + 8 x y y' + 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $1 + 4 x^{4} y^{2}$ .

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2}) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $1 + 4 x^{4} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x (x y' + 2 y)}{1 + 4 x^{4} y^{2}} (1 + 4 x^{4} y^{2}) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x (x y' + 2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (x y') + 2 x (2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) y' + 2 x (2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} y' + 2 x (2 y) = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} y' + 2 \cdot 2 x y = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 x y = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.1.1.6

Перенесем $x^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = (4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(4 y^{2} + 8 x y y' + 1) (1 + 4 x^{4} y^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} \cdot 1 + 4 y^{2} (4 x^{4} y^{2}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 y^{2} (4 x^{4} y^{2}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 (y^{2} y^{2}) (4 x^{4}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 y^{2 + 2} (4 x^{4}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 y^{4} (4 x^{4}) + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 4 \cdot 4 y^{4} x^{4} + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' \cdot 1 + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $8$ на $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x y y' (4 x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.6.1

Перенесем $x^{4}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 (x^{4} x) y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.6.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 (x^{4} x^{1}) y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{4 + 1} y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.6.3

Добавим $4$ и $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} y y' (4 y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} (y^{2} y) y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} y^{2 + 1} y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 8 x^{5} y^{3} y' \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.8

Умножим $4$ на $8$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 \cdot 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.9

Умножим $1$ на $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 1 (4 x^{4} y^{2})$

Этап 5.2.2.1.2.1.10

Умножим $4 x^{4} y^{2}$ на $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 y^{4} x^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.2.1

Перенесем $y^{4}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 x y y' + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.2

Перенесем $y$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 x y' y + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.3

Перенесем $x$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 x^{5} y^{3} y' + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.4

Перенесем $y^{3}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 x^{5} y' y^{3} + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.5

Перенесем $x^{5}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 y' x^{5} y^{3} + 1 + 4 x^{4} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.2.6

Перенесем $1$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 4 y^{2} + 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 1$

Этап 5.2.2.1.2.2.7

Перенесем $4 y^{2}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 16 x^{4} y^{4} + 8 y' x y + 32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 4 y^{2} + 1$

Этап 5.2.2.1.2.2.8

Перенесем $8 y' x y$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 16 x^{4} y^{4} + 32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1$

Этап 5.2.2.1.2.2.9

Изменим порядок $16 x^{4} y^{4}$ и $32 y' x^{5} y^{3}$ .

$2 y' x^{2} + 4 x y = 32 y' x^{5} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$32 y' x^{5} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 = 2 y' x^{2} + 4 x y$

Этап 5.3.2

Вычтем $2 y' x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$32 y' x^{5} y^{3} + 16 x^{4} y^{4} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y$

Этап 5.3.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $16 x^{4} y^{4}$ из обеих частей уравнения.

$32 y' x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{2} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $4 x^{4} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y + 4 y^{2} + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2}$

Этап 5.3.3.3

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y + 1 - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2}$

Этап 5.3.3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $2 y' x$ из $32 y' x^{5} y^{3} + 8 y' x y - 2 y' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $2 y' x$ из $32 y' x^{5} y^{3}$ .

$2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 8 y' x y - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $2 y' x$ из $8 y' x y$ .

$2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (4 y) - 2 y' x^{2} = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Этап 5.3.4.3

Вынесем множитель $2 y' x$ из $- 2 y' x^{2}$ .

$2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (4 y) + 2 y' x (- 1 x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Этап 5.3.4.4

Вынесем множитель $2 y' x$ из $2 y' x (16 x^{4} y^{3}) + 2 y' x (4 y)$ .

$2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y) + 2 y' x (- 1 x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Этап 5.3.4.5

Вынесем множитель $2 y' x$ из $2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y) + 2 y' x (- 1 x)$ .

$2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - 1 x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Этап 5.3.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$

Этап 5.3.6

Разделим каждый член $2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$ на $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Разделим каждый член $2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) = 4 x y - 16 x^{4} y^{4} - 4 x^{4} y^{2} - 4 y^{2} - 1$ на $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ .

$\frac{2 y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.2.3

Сократим общий множитель $16 x^{4} y^{3} + 4 y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 x y}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x y$ .

$y' = \frac{2 (2 x y)}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ .

$y' = \frac{2 (2 x y)}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 x y}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 16 x^{4} y^{4}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.3

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16 x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 8 x^{4} y^{4})}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 8 x^{4} y^{4})}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 8 x^{4} y^{4}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.4

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x^{4} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{x (- 8 x^{3} y^{4})}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 x^{4} y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{4} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 x^{4} y^{2})}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 x^{4} y^{2})}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.3.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 2 x^{4} y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.7

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.7.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{4} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{x (- 2 x^{3} y^{2})}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.3.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 4 y^{2}}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.9

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.1.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)$ .

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x))} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 5.3.6.3.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} + \frac{- 2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} + \frac{- 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y - 8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y - 8 x^{3} y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y$ .

$y' = \frac{2 y (1) - 8 x^{3} y^{4}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.2.2

Вынесем множитель $2 y$ из $- 8 x^{3} y^{4}$ .

$y' = \frac{2 y (1) + 2 y (- 4 x^{3} y^{3})}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.2.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (1) + 2 y (- 4 x^{3} y^{3})$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3})}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) - 2 x^{3} y^{2}}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.4

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) - 2 x^{3} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.2.4.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) + 2 y (- x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.2.4.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3}) + 2 y (- x^{3} y)$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.3

Чтобы записать $\frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.4.1

Умножим $\frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{16 x^{4} y^{3} + 4 y - x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{(16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) x} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.4.2

Изменим порядок множителей в $(16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) x$ .

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - 2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x$ .

$y' = \frac{2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) - 2 y^{2}}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + 2 y (- y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + 2 y (- y)$ .

$y' = \frac{2 y ((1 - 4 x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{2 y (1 x - 4 x^{3} y^{3} x - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{3} y^{3} x - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.3.2.1

Перенесем $x$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 (x \cdot x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 (x^{1} x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{1 + 3} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.3.3.1

Перенесем $x$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - (x \cdot x^{3}) y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.6.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - (x^{1} x^{3}) y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{1 + 3} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.6.3.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.7

Чтобы записать $\frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.8.1

Умножим $\frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) \cdot 2}{x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) \cdot 2} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.8.2

Изменим порядок множителей в $x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x) \cdot 2$ .

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) \cdot 2}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)} - \frac{1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y (x - 4 x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{(2 y x + 2 y (- 4 x^{4} y^{3}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.2.1

Умножим $y$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.2.1.1

Перенесем $y^{3}$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 (y^{3} y) (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.2.1.2

Умножим $y^{3}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.2.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 (y^{3} y^{1}) (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{3 + 1} (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.2.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 y (- x^{4} y) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.2.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.2.2.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 (y \cdot y) (- x^{4}) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.2.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 y (- y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{(2 y x + 2 y^{4} (- 4 x^{4}) + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{(2 y x + 2 \cdot - 4 y^{4} x^{4} + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.3.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} + 2 y^{2} (- x^{4}) + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} + 2 \cdot - 1 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 y \cdot y) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.3.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.3.5.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 (y \cdot y)) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} + 2 \cdot - 1 y^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y' = \frac{(2 y x - 8 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} - 2 y^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{2 y x \cdot 2 - 8 y^{4} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.3.10.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y' = \frac{4 y x - 8 y^{4} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.5.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$y' = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 2 y^{2} x^{4} \cdot 2 - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y' = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 5.3.6.3.10.5.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$y' = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 4 y^{2} - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y x - 16 y^{4} x^{4} - 4 y^{2} x^{4} - 4 y^{2} - 1}{2 x (16 x^{4} y^{3} + 4 y - x)}$