Математический анализ Примеры

$5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y) = 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 \sin (x) + 4 \cos (y) - 3 \sin (x) \cos (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (y)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.3.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 \cos (x) + 4 (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x) \cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sin (x) \cos (y)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (y)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' - 3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) - 3 (\cos (y) \cos (x))$

Этап 2.5.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$5 \cos (x) - 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (y) \cos (x)$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$

Этап 3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- 4 \sin (y) y' + 3 \sin (x) \sin (y) y' - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x)$ .

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) - 3 \cos (x) \cos (y) + 5 \cos (x) = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3 \cos (x) \cos (y)$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) + 5 \cos (x) = 3 \cos (x) \cos (y)$

Этап 5.2.2

Вычтем $5 \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $- 4 y' \sin (y) + 3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $- 4 y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 4 + 3 y' \sin (x) \sin (y) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $3 y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y' \sin (y)$ из $y' \sin (y) \cdot - 4 + y' \sin (y) (3 \sin (x))$ .

$y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ на $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x)) = 3 \cos (x) \cos (y) - 5 \cos (x)$ на $\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $- 4 + 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 4 + 3 \sin (x))}{- 4 + 3 \sin (x)} = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Разделим дроби.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.2

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ в виде произведения.

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.3

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.4.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.4.2

Переведем $\frac{1}{\sin (y)}$ в $\csc (y)$ .

$y' = \frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.5

Умножим $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.5.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{3 \cos (y)}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.5.2

Объединим $\frac{\cos (x) (3 \cos (y))}{- 4 + 3 \sin (x)}$ и $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) (3 \cos (y)) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.6

Перенесем $3$ влево от $\cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cdot \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5 \cos (x)}{\sin (y) (- 4 + 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.1.7

Разделим дроби.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Этап 5.4.3.1.8

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ в виде произведения.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Этап 5.4.3.1.9

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Этап 5.4.3.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.10.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Этап 5.4.3.1.10.2

Переведем $\frac{1}{\sin (y)}$ в $\csc (y)$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} + \frac{- 5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Этап 5.4.3.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Этап 5.4.3.1.12

Умножим $- \frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.12.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)} \csc (y)$

Этап 5.4.3.1.12.2

Объединим $\csc (y)$ и $\frac{\cos (x) \cdot 5}{- 4 + 3 \sin (x)}$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Этап 5.4.3.1.13

Перенесем $5$ влево от $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 4 + 3 \sin (x)} - \frac{5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y) - 5 \csc (y) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $3 \cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) - 5 \csc (y) \cos (x)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $- 5 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.2.3

Вынесем множитель $\cos (x) \csc (y)$ из $\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 5)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 4 + 3 \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.3

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) + 3 \sin (x)}$

Этап 5.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $3 \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4) - (- 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - (- 3 \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{- 1 (4 - 3 \sin (x))}$

Этап 5.4.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (3 \cos (y) - 5)}{4 - 3 \sin (x)}$