Математический анализ Примеры

$4 y = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 y) = \frac{d}{d x} (20 x^{3} - 3 x^{5})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $20 x^{3} - 3 x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{5}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Этап 3.3.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 y' = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Этап 5

Разделим каждый член $4 y' = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 y' = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$ на $4$ .

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- 15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- 15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{60 x^{2}}{4}$

Этап 5.3.1.2

Сократим общий множитель $60$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $60 x^{2}$ .

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{4 (15 x^{2})}{4}$

Этап 5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{4 (15 x^{2})}{4 (1)}$

Этап 5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{4 (15 x^{2})}{4 \cdot 1}$

Этап 5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + \frac{15 x^{2}}{1}$

Этап 5.3.1.2.2.4

Разделим $15 x^{2}$ на $1$ .

$y' = - \frac{15 x^{4}}{4} + 15 x^{2}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15 x^{4}}{4} + 15 x^{2}$