Математический анализ Примеры

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 5 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2.7

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

Этап 3.2.9

Добавим $6 x - 5$ и $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Этап 3.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем $- 5$ как $- 2$ плюс $- 3$

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

Этап 3.3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

Этап 3.3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Этап 3.3.3

Умножим $6 x - 5$ на $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ .

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$