Математический анализ Примеры

$a = 5 y^{0.6} x^{- 0.3} z$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d z} (a) = \frac{d}{d z} (5 y^{0.6} x^{- 0.3} z)$

Этап 2

Поскольку $a$ является константой относительно $z$ , производная $a$ относительно $z$ равна $0$ .

$0$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d z} [5 y^{0.6} \frac{1}{x^{0.3}} z]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [y^{0.6} \frac{5}{x^{0.3}} z]$

Этап 3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $y^{0.6}$ и $\frac{5}{x^{0.3}}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{y^{0.6} \cdot 5}{x^{0.3}} z]$

Этап 3.2.2.2

Перенесем $5$ влево от $y^{0.6}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 \cdot y^{0.6}}{x^{0.3}} z]$

Этап 3.2.2.3

Объединим $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ и $z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $\frac{5}{x^{0.3}}$ является константой относительно $z$ , производная $\frac{5 y^{0.6} z}{x^{0.3}}$ по $z$ равна $\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} \frac{d}{d z} [y^{0.6} z]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = y^{0.6}$ и $g (z) = z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \frac{d}{d z} [z] + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} \cdot 1 + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Этап 3.4.2

Умножим $y^{0.6}$ на $1$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z \frac{d}{d z} [y^{0.6}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = z^{0.6}$ и $g (z) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (\frac{d}{d u} [u^{0.6}] \frac{d}{d z} [y]))$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 0.6$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 u^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + z (0.6 y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y]))$

Этап 3.6

Перенесем $0.6$ влево от $z$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 \cdot z y^{- 0.4} \frac{d}{d z} [y])$

Этап 3.7

Перепишем $\frac{d}{d z} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z y^{- 0.4} y')$

Этап 3.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{x^{0.3}} (y^{0.6} + 0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{x^{0.3}} y^{0.6} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Этап 3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Объединим $\frac{5}{x^{0.3}}$ и $y^{0.6}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (0.6 z \frac{1}{y^{0.4}} y')$

Этап 3.9.2.2

Объединим $0.6$ и $\frac{1}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (z \frac{0.6}{y^{0.4}} y')$

Этап 3.9.2.3

Объединим $z$ и $\frac{0.6}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{z \cdot 0.6}{y^{0.4}} y')$

Этап 3.9.2.4

Перенесем $0.6$ влево от $z$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} (\frac{0.6 \cdot z}{y^{0.4}} y')$

Этап 3.9.2.5

Объединим $\frac{0.6 z}{y^{0.4}}$ и $y'$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5}{x^{0.3}} \cdot \frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$

Этап 3.9.2.6

Умножим $\frac{5}{x^{0.3}}$ на $\frac{0.6 z y'}{y^{0.4}}$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{5 (0.6 z y')}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Этап 3.9.2.7

Умножим $0.6$ на $5$ .

$\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} + \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}}$

Этап 3.9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$0 = \frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} + \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$

Этап 5.3

Умножим обе части на $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{0.3} y^{0.4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 z y'}{x^{0.3} y^{0.4}} (x^{0.3} y^{0.4}) = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Этап 5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 z y' = - \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{0.3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 y^{0.6}}{x^{0.3}}$ в числитель.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Этап 5.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $x^{0.3}$ из $x^{0.3} y^{0.4}$ .

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} (y^{0.4}))$

Этап 5.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 z y' = \frac{- 5 y^{0.6}}{x^{0.3}} (x^{0.3} y^{0.4})$

Этап 5.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$3 z y' = - 5 y^{0.6} y^{0.4}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $y^{0.6}$ на $y^{0.4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Перенесем $y^{0.4}$ .

$3 z y' = - 5 (y^{0.4} y^{0.6})$

Этап 5.4.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 z y' = - 5 y^{0.4 + 0.6}$

Этап 5.4.2.1.2.3

Добавим $0.4$ и $0.6$ .

$3 z y' = - 5 y^{1}$

Этап 5.4.2.1.3

Упростим $- 5 y^{1}$ .

$3 z y' = - 5 y$

Этап 5.5

Разделим каждый член $3 z y' = - 5 y$ на $3 z$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $3 z y' = - 5 y$ на $3 z$ .

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 z y'}{3 z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z y'}{z} = \frac{- 5 y}{3 z}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $- 5 y$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{3 z}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $1$ из $3 z$ .

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1 (- 5 y)}{1 (3 z)}$

Этап 5.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 5 y}{3 z}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5 y}{3 z}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d z}$ .

$\frac{d y}{d z} = - \frac{5 y}{3 z}$