Математический анализ Примеры

$w = {(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5))$

Этап 2

Производная $w$ по $x$ равна $w'$ .

$w'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(2 x - 7)}^{- 1}$ и $g (x) = x + 5$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Этап 3.2.4.2

Умножим ${(2 x - 7)}^{- 1}$ на $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = 2 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $2 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Этап 3.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Этап 3.4.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + 0))$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \cdot 2)$

Этап 3.4.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- 2 {(2 x - 7)}^{- 2})$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Изменим порядок членов.

$- 2 {(2 x - 7)}^{- 2} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.5

Объединим $x$ и $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.6

Умножим $- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.6.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - 5 \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.6.2

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 5 \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.6.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.7.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- \frac{2 \cdot x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Этап 3.5.2.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7}$

Этап 3.5.3

Чтобы записать $\frac{1}{2 x - 7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7} \cdot \frac{2 x - 7}{2 x - 7} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(2 x - 7)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{2 x - 7}$ на $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{(2 x - 7) (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $2 x - 7$ в степень $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Возведем $2 x - 7$ в степень $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} {(2 x - 7)}^{1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.6

Объединим противоположные члены в $\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{0 - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.6.2

Вычтем $7$ из $0$ .

$\frac{- 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 7 - 10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.8

Вычтем $10$ из $- 7$ .

$\frac{- 17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 3.5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$w' = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $w'$ на $\frac{d w}{d x}$ .

$\frac{d w}{d x} = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$