Математический анализ Примеры

$V = (15 - x) (8 - x) x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} ((15 - x) (8 - x) x)$

Этап 2

Производная $V$ по $x$ равна $V'$ .

$V'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = (15 - x) (8 - x)$ и $g (x) = x$ .

$(15 - x) (8 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Этап 3.2.2

Умножим $15 - x$ на $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

Этап 3.3

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $8 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \cdot - 1 + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $15 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.6.3

Перепишем $- 1 (15 - x)$ в виде $- (15 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

Этап 3.4.7

По правилу суммы производная $15 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 3.4.8

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 3.4.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.4.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.4.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \cdot - 1)$

Этап 3.4.12.2

Перенесем $- 1$ влево от $8 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - 1 \cdot (8 - x))$

Этап 3.4.12.3

Перепишем $- 1 (8 - x)$ в виде $- (8 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - (8 - x))$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - (8 - x))$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - 1 \cdot 8 - - x)$

Этап 3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(15 - x) \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Умножим $15$ на $8$ .

$120 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$120 - 8 x + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.3

Умножим $- 1$ на $15$ .

$120 - 8 x - 15 x - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$120 - 8 x - 15 x + 1 x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.5

Умножим $x$ на $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$120 - 8 x - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.9

Добавим $1$ и $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.10

Вычтем $15 x$ из $- 8 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.11

Умножим $- 1$ на $15$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x \cdot - 15 + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.12

Перенесем $- 15$ влево от $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 \cdot x + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x (1 x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.14

Умножим $x$ на $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.18

Добавим $1$ и $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

Этап 3.5.7.19

Умножим $- 1$ на $8$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x \cdot - 8 + x (- - x)$

Этап 3.5.7.20

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 \cdot x + x (- - x)$

Этап 3.5.7.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x (1 x)$

Этап 3.5.7.22

Умножим $x$ на $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x \cdot x$

Этап 3.5.7.23

Возведем $x$ в степень $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x$

Этап 3.5.7.24

Возведем $x$ в степень $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x^{1}$

Этап 3.5.7.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1 + 1}$

Этап 3.5.7.26

Добавим $1$ и $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{2}$

Этап 3.5.7.27

Вычтем $8 x$ из $- 15 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x^{2} - 23 x + x^{2}$

Этап 3.5.7.28

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$120 - 23 x + x^{2} + 2 x^{2} - 23 x$

Этап 3.5.7.29

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$120 - 23 x + 3 x^{2} - 23 x$

Этап 3.5.7.30

Вычтем $23 x$ из $- 23 x$ .

$120 + 3 x^{2} - 46 x$

Этап 3.5.8

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - 46 x + 120$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$V' = 3 x^{2} - 46 x + 120$

Этап 5

Заменим $V'$ на $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 3 x^{2} - 46 x + 120$