Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^{x^2}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ в виде ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Поскольку ${\displaystyle -3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -3{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y^2+2}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle y^2+2}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y^2\right]+\frac{d}{dx}\left[2\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ в виде ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Поскольку ${\displaystyle 2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 2}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Добавим ${\displaystyle 2yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ и ${\displaystyle 0}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle \frac{{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle \frac{2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{y\left(2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}\right)}{2}}$ и ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Перенесем ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Перенесем ${\displaystyle 2}$ влево от ${\displaystyle y}$.

Сократим общий множитель.

Перепишем это выражение.

Объединим ${\displaystyle -3}$ и ${\displaystyle \frac{yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Изменим порядок членов.

Изменим порядок множителей в ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2e^{x^2}xy-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

Умножим каждый член ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2xy{e}^{x^2}-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}=2x}$ на ${\displaystyle {(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Упростим левую часть.

Вычтем ${\displaystyle 2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ из обеих частей уравнения.

Вынесем множитель ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ из ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Разделим каждый член ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}(e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y)=2x{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y}$ и упростим.