Математический анализ Примеры

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

Этап 1

Запишем правую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 u' - 9}$ в виде ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

Этап 1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 1.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 3

Производная $u$ по $u'$ равна $u'$ .

$u'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ имеет вид $f' (g (u')) g' (u')$ , где $f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ и $g (u') = 2 u' - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 u' - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 u' - 9$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Этап 4.7

По правилу суммы производная $2 u' - 9$ по $u'$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Этап 4.8

Поскольку $2$ является константой относительно $u'$ , производная $2 u'$ по $u'$ равна $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ имеет вид $n {u'}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Этап 4.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Этап 4.11

Поскольку $- 9$ является константой относительно $u'$ , производная $- 9$ относительно $u'$ равна $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

Этап 4.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

Этап 4.12.2

Объединим $\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ и $2$ .

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.12.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Этап 4.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Этап 4.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Этап 6

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$u' \approx 4.52650004$

Этап 7

Заменим $u'$ на $\frac{d u}{d v}$ .

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$