Математический анализ Примеры

$P = \frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}})$

Этап 2

Производная $P$ по $t$ равна $P'$ .

$P'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Поскольку $40$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ по $t$ равна $40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$ .

$40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$

Этап 3.1.2

Перепишем $\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ в виде ${(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}$ .

$40 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

$40 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$40 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ .

$40 (- {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $40$ .

$- 40 ({(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

Этап 3.3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$

Этап 3.3.5

Поскольку $11$ является константой относительно $t$ , производная $11 e^{- 0.08 t}$ по $t$ равна $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$ .

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}])$

Этап 3.3.6

Умножим $11$ на $- 40$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 0.08 t$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 0.08 t$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 0.08$ является константой относительно $t$ , производная $- 0.08 t$ по $t$ равна $- 0.08 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (- 0.08 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 3.5.2

Умножим $- 0.08$ на $- 440$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \cdot 1)$

Этап 3.5.4

Умножим $e^{- 0.08 t}$ на $1$ .

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Изменим порядок множителей в $35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$ .

$35.2 e^{- 0.08 t} {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2}$

Этап 3.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Этап 3.6.3

Умножим $35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Объединим $\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ и $35.2$ .

$\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}} e^{- 0.08 t}$

Этап 3.6.3.2

Объединим $\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ и $e^{- 0.08 t}$ .

$\frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$P' = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

Этап 5

Заменим $P'$ на $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$