Математический анализ Примеры

$r = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x - 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x - 8)$

Этап 2

Производная $r$ по $x$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{4}}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{7}{6} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{7}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7}{6} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{7}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + \frac{7}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} + \frac{7}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.3

Объединим $3$ и $\frac{7}{6}$ .

$x^{3} + \frac{3 \cdot 7}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $7$ .

$x^{3} + \frac{21}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.5

Объединим $\frac{21}{6}$ и $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{21 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.6

Сократим общий множитель $21$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $21 x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 (7 x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x^{3} + \frac{3 (7 x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + \frac{3 (7 x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6 + 0$

Этап 3.6.2

Добавим $x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$ и $0$ .

$x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$

Этап 5

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} - 2 x + 6$