Математический анализ Примеры

$R = 2 x (900 + 32 x - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (R) = \frac{d}{d x} (2 x (900 + 32 x - x^{2}))$

Этап 2

Производная $R$ по $x$ равна $R'$ .

$R'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x (900 + 32 x - x^{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (900 + 32 x - x^{2})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 900 + 32 x - x^{2}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [900 + 32 x - x^{2}] + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $900 + 32 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [900] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Поскольку $900$ является константой относительно $x$ , производная $900$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.4

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.6

Умножим $32$ на $1$ .

$2 (x (32 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (32 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x (32 - (2 x)) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + (900 + 32 x - x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.3.11

Умножим $900 + 32 x - x^{2}$ на $1$ .

$2 (x (32 - 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot 32 + x (- 2 x) + 900 + 32 x - x^{2})$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot 32) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перенесем $32$ влево от $x$ .

$2 (32 \cdot x) + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.2

Умножим $32$ на $2$ .

$64 x + 2 (x (- 2 x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$64 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$64 x + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$64 x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$64 x - 4 x^{2} + 2 \cdot 900 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.8

Умножим $2$ на $900$ .

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (32 x) + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.9

Умножим $32$ на $2$ .

$64 x - 4 x^{2} + 1800 + 64 x + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.10

Добавим $64 x$ и $64 x$ .

$128 x - 4 x^{2} + 1800 + 2 (- x^{2})$

Этап 3.4.3.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$128 x - 4 x^{2} + 1800 - 2 x^{2}$

Этап 3.4.3.12

Вычтем $2 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$128 x - 6 x^{2} + 1800$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$- 6 x^{2} + 128 x + 1800$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$R' = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$

Этап 5

Заменим $R'$ на $\frac{d R}{d x}$ .

$\frac{d R}{d x} = - 6 x^{2} + 128 x + 1800$