Математический анализ Примеры

$s = (\frac{1}{3}) t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Этап 1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $t^{3}$ .

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5)$

Этап 3

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} t^{3} - 7 t^{2} + 49 t + 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{3} t^{3}$ по $t$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $t^{2}$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.2.5.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7 t^{2}$ по $t$ равна $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [49 t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [49 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $49$ является константой относительно $t$ , производная $49 t$ по $t$ равна $49 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.4.3

Умножим $49$ на $1$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + \frac{d}{d t} [5]$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49 + 0$

Этап 4.5.2

Добавим $t^{2} - 14 t + 49$ и $0$ .

$t^{2} - 14 t + 49$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = t^{2} - 14 t + 49$

Этап 6

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{2} - 14 t + 49$