Математический анализ Примеры

$s = \frac{a + b t + c t^{2}}{\sqrt{t}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{a + b t + c t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d a} (s) = \frac{d}{d a} (\frac{a + b t + c t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $s$ по $a$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ является константой относительно $a$ , производная $\frac{a + b t + c t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}$ по $a$ равна $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [a + b t + c t^{2}]$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [a + b t + c t^{2}]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $a + b t + c t^{2}$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b t] + \frac{d}{d a} [c t^{2}]$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b t] + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d a} [b t] + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

Этап 4.4

Поскольку $b t$ является константой относительно $a$ , производная $b t$ относительно $a$ равна $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + 0 + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d a} [c t^{2}])$

Этап 4.6

Поскольку $c t^{2}$ является константой относительно $a$ , производная $c t^{2}$ относительно $a$ равна $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 4.7.2

Умножим $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d a}$ .

$\frac{d s}{d a} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$