Математический анализ Примеры

$s = {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

Этап 2

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ и $g (t) = 6 t - t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 t - t^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.6.3

Перенесем ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $6 t - t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Этап 3.8

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Этап 3.10

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Этап 3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - (2 t))$

Этап 3.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Изменим порядок множителей в $\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$ .

$(6 - 2 t) \frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.14.2

Умножим $6 - 2 t$ на $\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(6 - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 - 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{(2 (3) - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.14.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t$ .

$\frac{(2 (3) + 2 (- t)) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.14.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- t)$ .

$\frac{2 (3 - t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3.14.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$