Математический анализ Примеры

$s = \frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (\frac{1 + \sec (t)}{1 - \sec (t)})$

Этап 2

Производная $s$ по $t$ равна $s'$ .

$s'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 1 + \sec (t)$ и $g (t) = 1 - \sec (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 + \sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sec (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\sec (t)]) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)] - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.3

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) (\sec (t) \tan (t)) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [1 - \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $1 - \sec (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- \sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [- \sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \sec (t)$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) - (1 + \sec (t)) (- \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + 1 (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.4.5.2

Умножим $1 + \sec (t)$ на $1$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.5

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{(1 - \sec (t)) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) (\sec (t) \tan (t))}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \sec (t) - \sec (t) \sec (t)) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 + \sec (t)) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + (1 \sec (t) + \sec (t) \sec (t)) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Объединим противоположные члены в $1 \sec (t) \tan (t) - \sec (t) \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.1

Добавим $- \sec (t) \sec (t) \tan (t)$ и $\sec (t) \sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t) + 0}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.5.1.2

Добавим $1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)$ и $0$ .

$\frac{1 \sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.2.1

Умножим $\sec (t)$ на $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.5.2.2

Умножим $\sec (t)$ на $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 3.6.5.3

Добавим $\sec (t) \tan (t)$ и $\sec (t) \tan (t)$ .

$\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$s' = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$

Этап 5

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{{(1 - \sec (t))}^{2}}$