Математический анализ Примеры

$y = 14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))] + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]$ .

$14 (x (\frac{d}{d x} [\sin (\ln (14 x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \ln (14 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$14 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $14 x$ .

$14 (x (\cos (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{14 x}$ и $\cos (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.2

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Объединим $14$ и $\frac{\cos (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.3.2

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$14 (x (\frac{14 \cos (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.3.2.2

Перепишем это выражение.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6.5

Умножим $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ на $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (14 x))]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\ln (14 x)$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) \frac{d}{d x} [\ln (14 x)]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\ln (u_{4})] \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8.2

Производная $\ln (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\frac{1}{u_{4}}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{u_{4}} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \sin (\ln (14 x)) (\frac{1}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{1}{14 x}$ и $\sin (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [14 x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.2

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} (14 \frac{d}{d x} [x])) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Умножим $14$ на $- 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - 14 \frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.3.2

Объединим $- 14$ и $\frac{\sin (\ln (14 x))}{14 x}$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- 14 \sin (\ln (14 x))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.3.3

Сократим общий множитель $- 14$ и $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.1

Вынесем множитель $14$ из $- 14 \sin (\ln (14 x))$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.2.1

Вынесем множитель $14$ из $14 x$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 (x)} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{14 (- \sin (\ln (14 x)))}{14 x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + \frac{- \sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x} \cdot 1) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + (\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))) \cdot 1)$

Этап 3.9.7

Умножим $\sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x))$ на $1$ .

$14 (x (\frac{\cos (\ln (14 x))}{x} - \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x} + x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x}) + \sin (\ln (14 x)) + \cos (\ln (14 x)))$

Этап 3.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (x \frac{\cos (\ln (14 x))}{x}) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Объединим $x$ и $\frac{\cos (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.2.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{x \cos (\ln (14 x))}{x} + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.2.2

Разделим $\cos (\ln (14 x))$ на $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (x (- \frac{\sin (\ln (14 x))}{x})) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.3

Объединим $x$ и $\frac{\sin (\ln (14 x))}{x}$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.4.1

Сократим общий множитель.

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \frac{x \sin (\ln (14 x))}{x}) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.4.2

Разделим $\sin (\ln (14 x))$ на $1$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 (- \sin (\ln (14 x))) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.5

Умножим $- 1$ на $14$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) - 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \sin (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.6

Добавим $- 14 \sin (\ln (14 x))$ и $14 \sin (\ln (14 x))$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 0 + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.7

Добавим $14 \cos (\ln (14 x))$ и $0$ .

$14 \cos (\ln (14 x)) + 14 \cos (\ln (14 x))$

Этап 3.10.3.8

Добавим $14 \cos (\ln (14 x))$ и $14 \cos (\ln (14 x))$ .

$28 \cos (\ln (14 x))$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 28 \cos (\ln (14 x))$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 28 \cos (\ln (14 x))$