Математический анализ Примеры

$x \ln (y) + 6 y = 3 x^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 6 y) = \frac{d}{d x} (3 x^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x \ln (y) + 6 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.6

Объединим $x$ и $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.2.7

Умножим $\ln (y)$ на $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [6 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 y$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, y, 1, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 5.2

Каждый член в $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ на $y$ .

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 y' y + x y' + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Этап 5.2.2.2

Изменим порядок множителей в $6 y' y + x y' + \ln (y) y$ .

$6 y' y + x y' + y \ln (y) = 9 x^{2} y$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y \ln (y)$ из обеих частей уравнения.

$6 y' y + x y' = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $6 y' y + x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $6 y' y$ .

$y' (6 y) + x (y') = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' (6 y) + y' (x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (6 y) + y' (x)$ .

$y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ на $6 y + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ на $6 y + x$ .

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $6 y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{9 x^{2} y - y \ln (y)}{6 y + x}$

Этап 5.3.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $9 x^{2} y - y \ln (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $9 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) - y \ln (y)}{6 y + x}$

Этап 5.3.3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Этап 5.3.3.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Этап 5.3.3.3.2.2

Перепишем $- 1 \ln (y)$ в виде $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$