Математический анализ Примеры

$K = \frac{1}{L^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d L} (K) = \frac{d}{d L} (\frac{1}{L^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2

Производная $K$ по $L$ равна $K'$ .

$K'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $\frac{1}{L^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d L} [{(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Этап 3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(L^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Этап 3.1.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d L} [L^{\frac{- 2}{3}}]$

Этап 3.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d L} [L^{- \frac{2}{3}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d L} [L^{n}]$ имеет вид $n L^{n - 1}$ , где $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} - 1}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$- \frac{2}{3} L^{\frac{- 5}{3}}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} L^{- \frac{5}{3}}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{L^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Умножим $\frac{1}{L^{\frac{5}{3}}}$ на $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{L^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Этап 3.8.2.2

Перенесем $3$ влево от $L^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$K' = - \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5

Заменим $K'$ на $\frac{d K}{d L}$ .

$\frac{d K}{d L} = - \frac{2}{3 L^{\frac{5}{3}}}$