Математический анализ Примеры

$2 x^{3} y^{2} + \ln (x y^{2}) = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y^{2} + \ln (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} y^{2} + \ln (x y^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3} y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$2 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$2 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$2 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.2.7

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x y^{2}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x y^{2}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.3.2

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $y$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $y$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Этап 2.3.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 2.3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y' + y^{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{3} y y') + 2 (3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y' + y^{2})$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{3} y y') + 2 (3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (x^{3} y y') + 2 (3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x^{3} y y' + 6 (y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2}{x y^{2}} (x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.4

Объединим $x$ и $\frac{2}{x y^{2}}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{x \cdot 2}{x y^{2}} (y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.5

Объединим $y$ и $\frac{x \cdot 2}{x y^{2}}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (x \cdot 2)}{x y^{2}} y' + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.6

Объединим $\frac{y (x \cdot 2)}{x y^{2}}$ и $y'$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (x \cdot 2) y'}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 \cdot x) y'}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.8

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 \cdot y x y'}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.9

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.9.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y x y'$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 x y')}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.9.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y^{2}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 x y')}{y (x y)} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 x y')}{y (x y)} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 x y'}{x y} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.10.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 x y'}{x y} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.10.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Этап 2.4.3.11

Объединим $\frac{1}{x y^{2}}$ и $y^{2}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{y^{2}}{x y^{2}}$

Этап 2.4.3.12

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.12.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{y^{2}}{x y^{2}}$

Этап 2.4.3.12.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x}$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 1, y, x, 1$

Этап 5.1.2

Так как $1, 1, y, x, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 5.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.1.5

НОК $1, 1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.1.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y x$

Этап 5.2

Каждый член в $4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ на $y x$ .

$4 x^{3} y y' (y x) + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$4 (x \cdot x^{3}) y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{1} x^{3}) y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{1 + 3} y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$4 x^{4} y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перенесем $y$ .

$4 x^{4} (y \cdot y) y' + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 (x \cdot x^{2}) y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 (x^{1} x^{2}) y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{1 + 2} y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.4

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.1

Перенесем $y$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} (y \cdot y^{2}) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.4.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} (y^{1} y^{2}) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{1 + 2} + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + \frac{2 y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Этап 5.2.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + y = 0 (y x)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $0 (y x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Умножим $y$ на $0$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + y = 0 x$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + y = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вычтем $6 x^{3} y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{4} y^{2} y' + 2 y' x + y = - 6 x^{3} y^{3}$

Этап 5.3.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{4} y^{2} y' + 2 y' x = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 x y'$ из $4 x^{4} y^{2} y' + 2 y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2 x y'$ из $4 x^{4} y^{2} y'$ .

$2 x y' (2 x^{3} y^{2}) + 2 y' x = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $2 x y'$ из $2 y' x$ .

$2 x y' (2 x^{3} y^{2}) + 2 x y' \cdot 1 = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $2 x y'$ из $2 x y' (2 x^{3} y^{2}) + 2 x y' \cdot 1$ .

$2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1) = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1) = - 6 x^{3} y^{3} - y$ на $2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1) = - 6 x^{3} y^{3} - y$ на $2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)$ .

$\frac{2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x^{3} y^{2} + 1} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель $2 x^{3} y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x^{3} y^{2} + 1} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{3} y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x^{3} y^{3})}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x^{3} y^{3})}{2 (x (2 x^{3} y^{2} + 1))} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 3 x^{3} y^{3})}{2 (x (2 x^{3} y^{2} + 1))} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 3 x^{3} y^{3}}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{3} y^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} y^{3})}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} y^{3})}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x^{3} y^{2} + 1) \cdot 2 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.3.1

Умножим $\frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1}$ на $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3} (2 x)}{(2 x^{3} y^{2} + 1) (2 x)} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(2 x^{3} y^{2} + 1) (2 x)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3} (2 x)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{3} (2 x) - y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 x^{2} y^{3} (2 x) - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 x^{2} y^{3} (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x)) - y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x)) + y \cdot - 1}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x)) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x) - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.2.1

Перенесем $x$ .

$y' = \frac{y (- 3 (x \cdot x^{2}) y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y (- 3 (x^{1} x^{2}) y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = \frac{y (- 3 x^{1 + 2} y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{3} y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.5.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y' = \frac{y (- 6 x^{3} y^{2} - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (6 x^{3} y^{2}) - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (6 x^{3} y^{2}) - 1 (1))}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x^{3} y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (6 x^{3} y^{2} + 1))}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.6.4.1

Перепишем $- (6 x^{3} y^{2} + 1)$ в виде $- 1 (6 x^{3} y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (6 x^{3} y^{2} + 1))}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 5.3.3.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (6 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (6 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$