Математический анализ Примеры

$x = \frac{3 r + 2}{2 r + 3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (x) = \frac{d}{d r} (\frac{3 r + 2}{2 r + 3})$

Этап 2

Производная $x$ по $r$ равна $x'$ .

$x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ имеет вид $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , где $f (r) = 3 r + 2$ и $g (r) = 2 r + 3$ .

$\frac{(2 r + 3) \frac{d}{d r} [3 r + 2] - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 r + 2$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$\frac{(2 r + 3) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $3 r$ по $r$ равна $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + \frac{d}{d r} [2]) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $r$ , производная $2$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{(2 r + 3) (3 + 0) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(2 r + 3) \cdot 3 - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $3$ влево от $2 r + 3$ .

$\frac{3 \cdot (2 r + 3) - (3 r + 2) \frac{d}{d r} [2 r + 3]}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $2 r + 3$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $r$ , производная $2 r$ по $r$ равна $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + \frac{d}{d r} [3])}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $r$ , производная $3$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) (2 + 0)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - (3 r + 2) \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 (2 r + 3) - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r + 2)}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим противоположные члены в $3 (2 r) + 3 \cdot 3 - 2 (3 r) - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $3 (2 r)$ и $- 2 (3 r)$ .

$\frac{2 \cdot 3 r + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 r - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2

Вычтем $2 \cdot 3 r$ из $2 \cdot 3 r$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3

Добавим $3 \cdot 3$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 - 2 \cdot 2}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{9 - 4}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Вычтем $4$ из $9$ .

$\frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x' = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d r}$ .

$\frac{d x}{d r} = \frac{5}{{(2 r + 3)}^{2}}$