Математический анализ Примеры

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\cos (r) + \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [r]$ в виде $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2.3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = r$ и $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Этап 3.3.2

Умножим $r$ на $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [r]$ в виде $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5

Решим относительно $r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5.1.1.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5.1.1.2.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5.1.1.2.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5.1.1.3

Изменим порядок множителей в $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Этап 5.3

Перенесем все члены с $r'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $x r' e^{r x}$ из обеих частей уравнения.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Этап 5.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Этап 5.3.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Этап 5.3.3.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Этап 5.4

Добавим $\csc^{2} (x)$ к обеим частям уравнения.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $r'$ из $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $r'$ из $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $r'$ из $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $r'$ из $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 \sin (r)$ в виде $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Этап 5.7

Разделим каждый член $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ на $- \sin (r) - x e^{r x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ на $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Этап 5.7.2.1.2

Разделим $r'$ на $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Этап 5.7.3.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Этап 5.7.3.1.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Этап 5.7.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Этап 5.7.3.1.3

Умножим $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ на $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Этап 5.7.3.2

Чтобы записать $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Этап 5.7.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.3.1

Умножим $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Этап 5.7.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Этап 5.7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Этап 5.7.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Этап 5.7.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Этап 5.7.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Этап 5.7.3.8

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.8.1

Перепишем $- (\sin (r) + x e^{r x})$ в виде $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Этап 5.7.3.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Этап 6

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$