Математический анализ Примеры

$r = 7 \ln (\sqrt[3]{t})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$r = 7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (7 \ln (t^{\frac{1}{3}}))$

Этап 3

Производная $r$ по $t$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = t^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Этап 4.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ и $7$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Этап 4.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.10

Умножим $\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Этап 4.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Перенесем $3$ влево от $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot t^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.11.2

Перенесем $t^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $t^{\frac{1}{3}}$ на $t^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1.1

Перенесем $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}$

Этап 4.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 4.12.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Этап 4.12.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{3}{3}}}$

Этап 4.12.1.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{7}{3 t^{1}}$

Этап 4.12.2

Упростим $3 t^{1}$ .

$\frac{7}{3 t}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = \frac{7}{3 t}$

Этап 6

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d t}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{7}{3 t}$