Математический анализ Примеры

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t + 5}$ в виде ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

Этап 3

Производная $q$ по $t$ равна $q'$ .

$q'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

Этап 4.4

Упростим.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Этап 4.5.2

Умножим ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

Этап 4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.11.3

Перенесем ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

Этап 4.11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

Этап 4.12

По правилу суммы производная $t + 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Этап 4.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

Этап 4.14

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

Этап 4.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

Этап 4.15.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.16

Чтобы записать ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.17

Объединим ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.19

Умножим ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Перенесем ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.19.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.20

Упростим ${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.21

Перенесем $2$ влево от $t + 5$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

Этап 4.22

Перепишем $\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ в виде произведения.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

Этап 4.23

Умножим $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{t + 5}$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

Этап 4.24

Возведем $t + 5$ в степень $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.26

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 4.26.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.27

Объединим $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ и $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 (t + 5) - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.28.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 2 \cdot 5 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.28.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (2 t + 10 - t)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.2.2

Вычтем $t$ из $2 t$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.2.4

Перенесем $10$ влево от $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cdot \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.2.5

Изменим порядок множителей в $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.3

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ из $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.28.3.1

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ из $t \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.3.2

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ из $10 \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.3.3

Вынесем множитель $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ из $\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$q' = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $q'$ на $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = \frac{\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$