Математический анализ Примеры

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

Этап 2

Производная $r$ по $M$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ имеет вид $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ , где $f (M) = M^{2}$ и $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ по $M$ имеет вид $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{c}{2}$ является константой относительно $M$ , производная $\frac{c}{2}$ относительно $M$ равна $0$ .

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2.4

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $M$ , производная $- \frac{M}{3}$ по $M$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ .

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2.5

Объединим $M^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ имеет вид $n M^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

Этап 3.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ имеет вид $n M^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

Этап 3.2.9

Перенесем $2$ влево от $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

Этап 3.3

Объединим $- \frac{M^{2}}{3}$ и $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок $- \frac{M^{2}}{3}$ и $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

Этап 3.3.2

Чтобы записать $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Этап 3.3.3

Объединим $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

Этап 3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{M}{3}$ в числитель.

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 M$ .

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.3

Возведем $M$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.4

Возведем $M$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $6 M$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $M^{2}$ из $- 2 M^{2}$ .

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $3 M$ из $- 3 M^{2} + 3 M c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $3 M$ из $- 3 M^{2}$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $3 M$ из $3 M c$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $3 M$ из $3 M (- M) + 3 M (c)$ .

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Этап 3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

Этап 3.5.4.2

Разделим $M (- M + c)$ на $1$ .

$M (- M + c)$

Этап 3.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$M (- M) + M c$

Этап 3.5.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- M \cdot M + M c$

Этап 3.5.7

Умножим $M$ на $M$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Перенесем $M$ .

$- (M \cdot M) + M c$

Этап 3.5.7.2

Умножим $M$ на $M$ .

$- M^{2} + M c$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = - M^{2} + M c$

Этап 5

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d M}$ .

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$