Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x) - \frac{x^{6}}{36}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{6}}{6} \cdot \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{x^{6}}{6}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{6} \ln (x)}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{6} \ln (x)}{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.6

Объединим $x^{6}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.7.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.7.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.2.7.2.5

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{6}}{36}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- \frac{1}{36}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{6}}{36}$ по $x$ равна $- \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{1}{36} (6 x^{5})$

Этап 3.3.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - 6 (\frac{1}{36}) x^{5}$

Этап 3.3.4

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{36}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6}{36} x^{5}$

Этап 3.3.5

Объединим $\frac{- 6}{36}$ и $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- 6 x^{5}}{36}$

Этап 3.3.6

Сократим общий множитель $- 6$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{36}$

Этап 3.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Вынесем множитель $6$ из $36$ .

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 (6)}$

Этап 3.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 6}$

Этап 3.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) + \frac{- x^{5}}{6}$

Этап 3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{1}{6} (\ln (x) (6 x^{5})) - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{\ln (x)}{6} (6 x^{5}) - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.2

Объединим $6$ и $\frac{\ln (x)}{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x)}{6} x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.3

Объединим $\frac{6 \ln (x)}{6}$ и $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} x^{5} + \frac{6 \ln (x) x^{5}}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.4.2

Разделим $\ln (x) x^{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} x^{5} + \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{6} x^{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{1}{6} x^{5} \cdot \frac{6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.6

Объединим $\frac{1}{6} x^{5}$ и $\frac{6}{6}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6}{6} - \frac{x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{1}{6} x^{5} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.8

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5}}{6} \cdot 6 - x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.9

Объединим $\frac{x^{5}}{6}$ и $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{x^{5} \cdot 6}{6} - x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.10

Перенесем $6$ влево от $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 \cdot x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.11

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x^{5} + \frac{\frac{6 x^{5}}{6} - x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.11.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{x^{5} - x^{5}}{6}$

Этап 3.4.2.12

Вычтем $x^{5}$ из $x^{5}$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{6}$

Этап 3.4.2.13

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.13.1

Вынесем множитель $6$ из $0$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 (0)}{6}$

Этап 3.4.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.13.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x^{5} + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x) x^{5} + \frac{0}{1}$

Этап 3.4.2.13.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\ln (x) x^{5} + 0$

Этап 3.4.2.14

Добавим $\ln (x) x^{5}$ и $0$ .

$\ln (x) x^{5}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x) x^{5}$ .

$x^{5} \ln (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x^{5} \ln (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{5} \ln (x)$