Математический анализ Примеры

$y = \frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 6 x^{2}}{x^{4} - 6 x^{2} + 5})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - 6 x^{2}$ и $g (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [1 - 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $1 - 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 6 (2 x)) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} - 6 x^{2} + 5]}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x + 0)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.2.13

Добавим $4 x^{3} - 12 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{4} - 6 x^{2} + 5) (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) - (1 - 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} (- 12 x) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 12 x^{4} x - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 12 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 x^{1 + 4} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 x^{2} (- 12 x) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{2} x + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2}) + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{1 + 2} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} - 6 \cdot - 12 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.5

Умножим $- 6$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} + 5 (- 12 x) + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.6

Умножим $- 12$ на $5$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 \cdot 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 - (- 6 x^{2})) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.7.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x + (- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.8

Развернем $(- 1 + 6 x^{2}) (4 x^{3} - 12 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3} - 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3} - 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.9.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} - 1 (- 12 x) + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} (4 x^{3}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.9.1.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{3 + 2} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.4.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 6 \cdot 4 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.5

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 x^{2} (- 12 x)}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{2} x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.9.1.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.9.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 (x^{1} x^{2})}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{1 + 2}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} + 6 \cdot - 12 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.1.8

Умножим $6$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 4 x^{3} + 12 x + 24 x^{5} - 72 x^{3}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.9.2

Вычтем $72 x^{3}$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x + 24 x^{5}}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Добавим $- 12 x^{5}$ и $24 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5} + 72 x^{3} - 60 x - 76 x^{3} + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Вычтем $76 x^{3}$ из $72 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 60 x + 12 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 3.3.3.4

Добавим $- 60 x$ и $12 x$ .

$\frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{5} - 4 x^{3} - 48 x}{{(x^{4} - 6 x^{2} + 5)}^{2}}$