Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x}{1 - \cot (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{1 - \cot (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{1 - \cot (x)}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 - \cot (x)$ .

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $1 - \cot (x)$ на $1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 - \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cot (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.3.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$4 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Объединим $4$ и $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 + 4 (- \cot (x)) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 - 4 \cot (x) + 4 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.2.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4 \cot (x) - 4 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x \csc^{2} (x) + 4 - 4 \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.4.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) - 4 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.4.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.4.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x \csc^{2} (x)) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.4.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 4 (- \cot (x))$ .

$\frac{4 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \csc^{2} (x)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.6

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cot (x)$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ .

$\frac{4 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.10

Перепишем $- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ в виде $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ .

$\frac{4 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 3.6.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$