Математический анализ Примеры

$y = (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{10 x^{5} - 16 x^{2}}{x^{3}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 10 x^{5} - 16 x^{2}$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [10 x^{5} - 16 x^{2}] - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.2

По правилу суммы производная $10 x^{5} - 16 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [10 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{5}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (10 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.5

Умножим $5$ на $10$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.6

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{2}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 16 (2 x)) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.8

Умножим $2$ на $- 16$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - (10 x^{5} - 16 x^{2}) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 4.2.10

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.2.10.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} (50 x^{4} - 32 x)$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) - 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.2.10.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (10 x^{5} - 16 x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Этап 4.2.10.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x)) + x^{2} (- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{6}}$

Этап 4.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2})}{x^{2} x^{4}}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}}{x^{4}}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $x$ из $x (50 x^{4} - 32 x) - 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 (10 x^{3} - 16) x^{2}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x (50 x^{4} - 32 x) + x (- 3 (10 x^{3} - 16) x)$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x^{4}}$

Этап 4.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x)}{x \cdot x^{3}}$

Этап 4.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $x$ из $50 x^{4} - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $50 x^{4}$ .

$\frac{x (50 x^{3}) - 32 x - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Этап 4.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- 32 x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 - 3 (10 x^{3} - 16) x}{x^{3}}$

Этап 4.6.3

Вынесем множитель $x$ из $- 3 (10 x^{3} - 16) x$ .

$\frac{x (50 x^{3}) + x \cdot - 32 + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Этап 4.6.4

Вынесем множитель $x$ из $x (50 x^{3}) + x \cdot - 32$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Этап 4.6.5

Вынесем множитель $x$ из $x (50 x^{3} - 32) + x (- 3 (10 x^{3} - 16))$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x^{3}}$

Этап 4.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Этап 4.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16))}{x \cdot x^{2}}$

Этап 4.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3} - 16)}{x^{2}}$

Этап 4.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{50 x^{3} - 32 - 3 (10 x^{3}) - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Этап 4.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Умножим $10$ на $- 3$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} - 3 \cdot - 16}{x^{2}}$

Этап 4.8.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 16$ .

$\frac{50 x^{3} - 32 - 30 x^{3} + 48}{x^{2}}$

Этап 4.8.2.2

Вычтем $30 x^{3}$ из $50 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} - 32 + 48}{x^{2}}$

Этап 4.8.2.3

Добавим $- 32$ и $48$ .

$\frac{20 x^{3} + 16}{x^{2}}$

Этап 4.8.3

Вынесем множитель $4$ из $20 x^{3} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Вынесем множитель $4$ из $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 16}{x^{2}}$

Этап 4.8.3.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 (5 x^{3}) + 4 (4)}{x^{2}}$

Этап 4.8.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 x^{3}) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (5 x^{3} + 4)}{x^{2}}$