Математический анализ Примеры

$x - \tan (x y) = - 7$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x - \tan (x y)) = \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - \tan (x y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x y)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\tan (x y)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 2.2.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$1 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$1 - (\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$1 - (\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - (\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - (\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1))$

Этап 2.2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$1 - \sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - \sec^{2} (x y) (x y') - \sec^{2} (x y) y$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$- x \sec^{2} (x y) y' - y \sec^{2} (x y) + 1$

Этап 3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x \sec^{2} (x y) y' - y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- x \sec^{2} (x y) y' - y \sec^{2} (x y) + 1$ .

$- x y' \sec^{2} (x y) - y \sec^{2} (x y) + 1 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $y \sec^{2} (x y)$ к обеим частям уравнения.

$- x y' \sec^{2} (x y) + 1 = y \sec^{2} (x y)$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) - 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) - 1$ на $- x \sec^{2} (x y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- x y' \sec^{2} (x y) = y \sec^{2} (x y) - 1$ на $- x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{- x y' \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y \sec^{2} (x y)}{- x \sec^{2} (x y)} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{- x \sec^{2} (x y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x \sec^{2} (x y)}$