Математический анализ Примеры

$x \ln (y) + y^{3} = \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x \ln (y) + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.6

Объединим $x$ и $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.7

Умножим $\ln (y)$ на $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, y, 1, x$

Этап 5.1.2

Since $1, y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 5.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.1.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y x$

Этап 5.2

Каждый член в $3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ на $y x$ .

$3 y^{2} y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перенесем $y$ .

$3 (y \cdot y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 (y^{1} y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{1 + 2} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{3} y' x + x y' x + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{3} y' x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.2.2

Изменим порядок множителей в $3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x)$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (y x)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = y$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y x \ln (y)$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y' x$ из $3 y^{3} y' x + y' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y' x$ из $3 y^{3} y' x$ .

$y' x (3 y^{3}) + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x^{2}$ .

$y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x = y - y x \ln (y)$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y' x$ из $y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x$ .

$y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ на $x (3 y^{3} + x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ на $x (3 y^{3} + x)$ .

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $3 y^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

Этап 5.3.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.3.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (3 y^{3} + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.3.1

Умножим $\frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(3 y^{3} + x) x}$

Этап 5.3.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(3 y^{3} + x) x$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $y - y \ln (y) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.5.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.5.1.3

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.5.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (1 - 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.5.2

Перепишем $- 1 \ln (y)$ в виде $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 5.3.3.3.6

Изменим порядок множителей в $\frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$ .

$y' = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$