Математический анализ Примеры

$y = \frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (2 x)$ и $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.4.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3.1.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3.1.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{2 \sin (x) \cdot - 1 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.3.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.3.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 (\sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ и $\sin^{4} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

Этап 3.8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{- 2 (\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 (2 \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.3

Умножим $2 \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 (2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.6

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.2

Объединим противоположные члены в $2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.2.1

Изменим порядок множителей в членах $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ и $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.2.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ из $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\frac{- 2 (0 + \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.5.2.3

Добавим $0$ и $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Этап 3.8.6

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 3.8.7

Разделим дроби.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.8.8

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Этап 3.8.9

Умножим на $1$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x) \cdot 1} \cot (x)$

Этап 3.8.10

Разделим дроби.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

Этап 3.8.11

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \csc^{2} (x) \cot (x)$

Этап 3.8.12

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$