Математический анализ Примеры

$y = \ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$1 \frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ на $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{2 x}$ и $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.6.3.2

Перенесем $2$ влево от $(1 + e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 \cdot ((1 + e^{2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.6.4

По правилу суммы производная $1 + e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.6.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.6.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.13.2

Умножим $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ на $\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Этап 3.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Вынесем множитель $1 + e^{2 x}$ из $e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Этап 3.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Этап 3.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Этап 3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Этап 3.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Этап 3.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.4.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.4.1.2

Умножим $e^{2 x}$ на $e^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.4.1.2.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x + 2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.4.1.2.3

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.4.2

Объединим противоположные члены в $2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.4.2.1

Вычтем $2 e^{4 x}$ из $2 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 0}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.4.2.2

Добавим $2 e^{2 x}$ и $0$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.5.1

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x} e^{2 x}}$

Этап 3.15.5.2

Умножим $e^{2 x}$ на $e^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x + 2 x}}$

Этап 3.15.5.2.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$