Математический анализ Примеры

$x \ln (3 y) = 5 x y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x \ln (3 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (3 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (3 y)] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 y$ .

$x (\frac{1}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{1}{3 y}$ и $x$ .

$\frac{x}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x}{3 y} (3 \frac{d}{d x} [y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $3$ и $\frac{x}{3 y}$ .

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{x}{y} y' + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Объединим $\frac{x}{y}$ и $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \cdot 1$

Этап 2.7

Умножим $\ln (3 y)$ на $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x y^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Этап 3.2

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$5 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$5 (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 x y^{2} y') + 5 y^{3}$

Этап 3.8.2

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x y^{2} y' + 5 y^{3}$

Этап 3.8.3

Изменим порядок членов.

$5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) = 5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $15 y^{2} x y'$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ на $y$ .

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y \cdot y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y^{1} y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{1 + 2} x y' = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.2.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.2.2

Изменим порядок множителей в $x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y'$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $y^{3}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перенесем $y$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y \cdot y^{3})$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $y$ на $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y^{1} y^{3})$

Этап 5.3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{1 + 3}$

Этап 5.3.3.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $y \ln (3 y)$ из обеих частей уравнения.

$x y' - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' - 15 y^{3} x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $x y'$ .

$x y' \cdot 1 - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $- 15 y^{3} x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3})$ .

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ на $x (1 - 15 y^{3})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ на $x (1 - 15 y^{3})$ .

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Этап 5.4.3.2.2

Сократим общий множитель $1 - 15 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$