Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 u}{1 - 4 u}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (\frac{2 u}{1 - 4 u})$

Этап 2

Производная $y$ по $u$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $u$ , производная $\frac{2 u}{1 - 4 u}$ по $u$ равна $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$ .

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ имеет вид $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , где $f (u) = u$ и $g (u) = 1 - 4 u$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $1 - 4 u$ на $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $1 - 4 u$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (0 + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [- 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $u$ , производная $- 4 u$ по $u$ равна $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (- 4 \frac{d}{d u} [u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.7

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \frac{d}{d u} [u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \cdot 1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Умножим $4$ на $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.9.2

Добавим $- 4 u$ и $4 u$ .

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.9.3

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.9.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Этап 3.3.9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d u}$ .

$\frac{d y}{d u} = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$