Математический анализ Примеры

$y = 5 t {(2 t + 3)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 t {(2 t + 3)}^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t {(2 t + 3)}^{3}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 3)}^{3}] + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = 2 t + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t + 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t + 3$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $2 t + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \cdot 1)$

Этап 3.4.8

Умножим ${(2 t + 3)}^{3}$ на $1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3})$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Этап 3.5.2

Умножим $6$ на $5$ .

$30 (t ({(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $5 {(2 t + 3)}^{2}$ из $30 t {(2 t + 3)}^{2} + 5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Вынесем множитель $5 {(2 t + 3)}^{2}$ из $30 t {(2 t + 3)}^{2}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

Этап 3.5.3.2

Вынесем множитель $5 {(2 t + 3)}^{2}$ из $5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$

Этап 3.5.3.3

Вынесем множитель $5 {(2 t + 3)}^{2}$ из $5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t + 2 t + 3)$

Этап 3.5.4

Добавим $6 t$ и $2 t$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (8 t + 3)$

Этап 3.5.5

Перепишем ${(2 t + 3)}^{2}$ в виде $(2 t + 3) (2 t + 3)$ .

$5 ((2 t + 3) (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Этап 3.5.6

Развернем $(2 t + 3) (2 t + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (2 t (2 t + 3) + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Этап 3.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

Этап 3.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1.2.1

Перенесем $t$ .

$5 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$5 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$5 (4 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 9) (8 t + 3)$

Этап 3.5.7.2

Добавим $6 t$ и $6 t$ .

$5 (4 t^{2} + 12 t + 9) (8 t + 3)$

Этап 3.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 (4 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Этап 3.5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.9.1

Умножим $4$ на $5$ .

$(20 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Этап 3.5.9.2

Умножим $12$ на $5$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

Этап 3.5.9.3

Умножим $5$ на $9$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$

Этап 3.5.10

Развернем $(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$20 t^{2} (8 t) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 \cdot 8 t^{2} t + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.11.2.1

Перенесем $t$ .

$20 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.2.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.11.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$20 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 \cdot 8 t^{1 + 2} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$20 \cdot 8 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.3

Умножим $20$ на $8$ .

$160 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.4

Умножим $3$ на $20$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t \cdot t + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.6

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.11.6.1

Перенесем $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 (t \cdot t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.6.2

Умножим $t$ на $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.7

Умножим $60$ на $8$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.8

Умножим $3$ на $60$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.9

Умножим $8$ на $45$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 45 \cdot 3$

Этап 3.5.11.10

Умножим $45$ на $3$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Этап 3.5.12

Добавим $60 t^{2}$ и $480 t^{2}$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

Этап 3.5.13

Добавим $180 t$ и $360 t$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$