Математический анализ Примеры

$y = \frac{9}{\sqrt{t}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{9}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{9}{t^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{9}{t^{\frac{1}{2}}}$ по $t$ равна $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (- \frac{1}{2} t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{2} t^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 (- \frac{1}{2} t^{- \frac{3}{2}})$

Этап 4.9

Объединим $t^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$9 (- \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 4.10

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 4.11

Объединим $- 9$ и $\frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 9 t^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Этап 4.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Перенесем $t^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{9}{2 t^{\frac{3}{2}}}$