Математический анализ Примеры

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.5

Объединим $y$ и $\frac{2}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.6

Объединим $\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ и $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.7

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.8

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, y, 1, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 5.2

Каждый член в $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ на $y$ .

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $12 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' + 2 y' y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y'$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ .

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ на $2 (1 + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ на $2 (1 + y)$ .

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Этап 5.3.3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

Этап 5.3.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

Этап 5.3.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Этап 5.3.3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y - 6 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Этап 5.3.3.3.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Этап 5.3.3.3.2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

Этап 5.3.3.3.2.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$