Математический анализ Примеры

$\cot (x y) + x y = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cot (x y) + x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\cot (x y) + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cot (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \cdot 1$

Этап 2.3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y + x y' + y$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Этап 5.2

Упростим $- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перенесем $x y'$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) + x y' - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Этап 5.2.1.2

Изменим порядок $- x y' \csc^{2} (x y)$ и $x y'$ .

$x y' - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- x y'$ из $x y'$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- x y'$ из $- x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $- x y'$ из $- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' (- 1 + \csc^{2} (x y)) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Этап 5.2.5

Переставляем члены.

$- x y' (\csc^{2} (x y) - 1) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Этап 5.2.6

Применим формулу Пифагора.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Этап 5.2.7

Изменим порядок $- y \csc^{2} (x y)$ и $y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Этап 5.2.8

Перепишем $y$ в виде $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) + 1 y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Этап 5.2.9

Вынесем множитель $- y$ из $1 y$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y \csc^{2} (x y) = 0$

Этап 5.2.10

Вынесем множитель $- y$ из $- y \csc^{2} (x y)$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y (\csc^{2} (x y)) = 0$

Этап 5.2.11

Вынесем множитель $- y$ из $- y (- 1) - y (\csc^{2} (x y))$ .

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1 + \csc^{2} (x y)) = 0$

Этап 5.2.12

Переставляем члены.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (\csc^{2} (x y) - 1) = 0$

Этап 5.2.13

Применим формулу Пифагора.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \cot^{2} (x y) = 0$

Этап 5.3

Добавим $y \cot^{2} (x y)$ к обеим частям уравнения.

$- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ на $- x \cot^{2} (x y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ на $- x \cot^{2} (x y)$ .

$\frac{- x y' \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $\cot^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель $\cot^{2} (x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Этап 5.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{- x}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$