Математический анализ Примеры

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.14

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.15

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.15.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.15.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.15.4

Разделим $0$ на $2$ .

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.16

Упростим $x^{0}$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Этап 4.18

Умножим $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 4.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.19.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.19.3

Изменим порядок членов.

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Упростим $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $7$ под логарифм.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

Этап 6.2.2.1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $7$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим $\frac{7}{2}$ и $y$ .

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.2.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ .

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$